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指数函数的反函数称为对数函数。使用指数表示的关系也可以用对数来表示。对数是一种重要的数学工具，在解决指数方程和简化复杂计算中发挥重要作用。
对数：如果 \(a^x = n\)（其中 \(a \neq 1\)），那么 \(\log_a n = x\)。这里 \(a\) 称为对数的底数。
对数的基本性质：
1. \(\log_a n = x\) 等价于 \(a^x = n\)
2. 对数可以取分数值或负值
3. 底数 \(a\) 必须满足 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)
\(\log_a n = x \Leftrightarrow a^x = n\) （其中 \(a > 0, a \neq 1\)）
对数和指数之间的基本等价关系
题目：将以下语句写成对数形式
a) \(3^2 = 9\) b) \(2^7 = 128\) c) \(64^{\frac{1}{2}} = 8\)
解答：
a) \(3^2 = 9\)，所以 \(\log_3 9 = 2\)
b) \(2^7 = 128\)，所以 \(\log_2 128 = 7\)
c) \(64^{\frac{1}{2}} = 8\)，所以 \(\log_{64} 8 = \frac{1}{2}\)
对数可以取分数值或负值。
题目：将以下语句用幂的形式重写
a) \(\log_3 81 = 4\) b) \(\log_2 \left(\frac{1}{8}\right) = -3\)
解答：
a) \(\log_3 81 = 4\)，所以 \(3^4 = 81\)
b) \(\log_2 \left(\frac{1}{8}\right) = -3\)，所以 \(2^{-3} = \frac{1}{8}\)
题目：不使用计算器，求以下对数的值
a) \(\log_3 81\) b) \(\log_4 0.25\) c) \(\log_{0.5} 4\) d) \(\log_a (a^5)\)
解答：
a) \(\log_3 81 = 4\)，因为 \(3^4 = 81\)
b) \(\log_4 0.25 = -1\)，因为 \(4^{-1} = \frac{1}{4} = 0.25\)
c) \(\log_{0.5} 4 = -2\)，因为 \(0.5^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4\)
d) \(\log_a (a^5) = 5\)，因为 \(a^5 = a^5\)
题目：使用计算器求以下对数，保留3位小数
a) \(\log_3 40\) b) \(\log_{10} 75\)
解答：
a) \(\log_3 40 = 3.358\)
b) \(\log_{10} 75 = 1.875\)
可以使用计算器上的 \(\log\) 按钮来计算以10为底的对数，使用 \(\ln\) 按钮来计算以e为底的对数。
在使用对数时，要确保底数 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)。对于负数或零，对数没有定义。计算器通常有专门的按钮来计算以10为底的对数（通常标记为 \(\log\)）和以e为底的对数（通常标记为 \(\ln\)）。
通过本节的学习，你应该能够：